写于我的高二

0-预

我们知道，三角形是平面上的基本图形，角和边作为构成三角形基本原素。在空间中，四面体是基本图形，而我创造的正是四面体的“角”——汆角。

汆角：空间中共起点而不共面的三个射线。

接下来我会围绕汆角给出相关定义，属性，计算。

1-基本概念

汆：空间中共起点而不共面的三个射线（一般，我们称汆即可）

注意

三条射线的公共起点记为点O

三条射线记为la, lb , lc

棱：三条射线中任意一个
角：任意两棱之间形成的角
面：三条射线两两组成的三个平面：αβγ（α与la相对，即α由lb, lc组成）
单位棱：棱长归一化的线段（线段端点为O-A, B, C）
顶点：三条棱的交点，即点O
单位点：点A, B, C
汆的表示：汆O-ABC

注意使用大写字母ABC即意味着他们是单位点，O-A, B, C长均为1

单位向量： $\overrightarrow{OA} , \overrightarrow{OB} , \overrightarrow{OC}$ 简写为 $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$
底面：面ABC
底面三角：三角形ABC
单位球：球心位于O的单位球
底面圆：底面和单位球的交面，即底面三角的外接圆
单位四面体：四面体O-ABC
单位平行六面体：三个单位向量确定的平行六面体
（棱的）对应面：对于棱O-A的对应面是面α
（棱的）对面角：对于棱 $OA$ 的对面角 $\angle BOC$ 记为 $\alpha$
单位棱高：单位棱顶点A, B, C到对应面的距离，记为 $H_a$ 或 $H_{A}$
棱-面角：棱与对应面的夹角，记为 $α_{\perp}$
面-面角：两面的夹角，记作 $\land A$
衡棱线：是一条经顶点出发的射线（方向取向：与底面有交点），此线上任何点到三条棱的距离相等
衡面线：是一条经顶点出发的射线（方向取向：与底面有交点），此线上任何点到三个面的距离相等
贯线：顶点到底面三角的重心的射线
单位球三角：在单位球上的球面三角形ABC
特殊汆：半等汆，等汆，正汆，半正汆，小正汆，直面汆，直面汆
对应锥：圆锥（顶点 - 底面圆）
锥角：对应锥的顶角 $\dot{\Delta}$
锥高：锥高，即顶点到底面的距离
底面半径：底面圆的半径

2-关于引言及衡棱线

三角形（二维单纯形）作为平面上的基本图形

三角形是平面几何中的基本元素
三个点是确定一个平面的最少信息，同时两邻边对应的向量又可以看作此面的基底
任意多边形都可以拆成三角形
三角形中蕴含着大量的定理和性质

到了空间中，我们的四面体（三维单纯形）（三棱锥）则是最基本元素。

可是从命名上看，它并没有沿用角（比如四角体），而是用了面或棱。难道就不配在空间中拥有角吗？于是我创造了汆的概念，故四面体等于四汆体。

起名为汆的原因（我瞎起的）：入的结构正好像空间中共起点而不共面的三个射线的结构，十分形象！

我首先研究的是它的角分线

我们知道，在平面几何中，角分线上的点到角两边的距离相等。所以汆的角分线也到三个棱的距离相等，我称为衡棱线。接着我开始想衡棱线在哪以及怎么计算

设 $\vec{O}$ 为原点， $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ 是汆的单位向量。若 $\vec{P}$ 在衡棱线上，则: $|\vec{P} \cdot \vec{A}| = |\vec{P} \cdot \vec{B}| = |\vec{P} \cdot \vec{C}|$

我首先尝试了 $\vec{P} = \lambda (\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})$ ，因为平面上角分线可以这样算，但我发现它并不满足上式。它其实是这个它对应平行六面体的对角线。

接着我想，既然 $|OA| = |OB| = |OC|$ ，我让它们成为以顶点 $O$ 为顶点的一个圆锥的三个母线，而 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 必然确定一个面，三点圆作为圆锥的底，那么圆锥高线与任何母线夹角恒定，其中包括 $OA$ 、 $OB$ 、 $OC$ 。

如此一来，便找到了衡棱线 $OH$ 。如何用向量表示呢？一开始我还苦于找到 $\Delta ABC$ 外心 $H$ ， $OH$ 即衡棱线。

但是转念一想，我只找方向即可，不及大小。于是我可以写出与 $OH$ 同方向的向量： $\vec{P} = \lambda ((\vec{C}-\vec{A}) \times (\vec{B}-\vec{A}))$ 注：用到的叉积运算性质

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{O}$
$\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{d} = (\vec{a} - \vec{c}) \times (\vec{b} - \vec{d}) + \vec{a} \times \vec{d} + \vec{c} \times \vec{b}$
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$

验证：

\begin{align} \vec{P} &= \lambda \left( \left(\vec{C}-\vec{A}) \times (\vec{B}-\vec{A} \right) \right) \\ &= \lambda \left(\vec{C} \times \vec{B} - \vec{C} \times \vec{A} - \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{A} \right) \\ &= \lambda \left( \vec{C} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} + \vec{B} \times \vec{A} \right) \\ \end{align}

计算 $\left| \vec{P} \cdot \vec{A} \right|$ ：

\begin{aligned} \left| \vec{P} \cdot \vec{A} \right| &= \left| \lambda \left( \vec{C} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} + \vec{B} \times \vec{A} \right) \cdot \vec{A} \right| \\ &= \left| \lambda \left( \left(\vec{C} \times \vec{B} \right) \cdot \vec{A} + \underbrace{ \left(\vec{A} \times \vec{C}\right) \cdot \vec{A}}_{0} + \underbrace{\left(\vec{B} \times \vec{A} \right) \cdot \vec{A}}_{0} \right) \right| \\ &= \left| \lambda \left(\left(\vec{C} \times \vec{B} \right) \cdot \vec{A} \right) \right| \end{aligned}

同理：

\begin{align} &\left| \vec{P} \cdot \vec{B} \right| = \left| \lambda \left( - \left(\vec{C} \times \vec{A} \right) \cdot \vec{B} \right) \right|\\ &\left| \vec{P} \cdot \vec{C} \right| = \left| \lambda \left( - \left(\vec{A} \times \vec{B} \right) \cdot \vec{C} \right) \right|\\ \end{align}

可以看出：

\left| \vec{P} \cdot \vec{A} \right| = \left| \vec{P} \cdot \vec{B} \right| = \left| \vec{P} \cdot \vec{C} \right|

衡棱线的性质：

线上的点到三个棱距离相等
线上与三棱夹角相等
线穿过底面三角的外心，穿过底面圆的圆心，与底面法向量共线
线上的点到单位点 A、 B、 C 的距离相等

3-贯线

想象一下，你有三根等长的木棍（不妨设为 $2$ 单位长），粘住他们的一个顶点不动，在空间中形成汆，接着用绳子吊起顶点，绳子所在直线是什么？没错——贯线

使用每一根木棍重心 $A, B, C$ （木棍均匀，中点为重心）代替木棍。然后用 $\Delta ABC$ 的重心 $G$ 代替三个质点 $A, B, C$ 。如此一来，就相当于绳直接吊着一个球 $G$ 。

那顶点与底面三角重心 $G$ 连线的直线，就是绳所在的直线，我称之为贯线，有贯穿之意。

贯线如何计算？首先表示出底面三角的重心

\vec{G} = \frac{1}{3} \left(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C} \right)

那么贯线的方程就是 $\vec{P} = \lambda (\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})$

这正是左边我刚开始尝试的衡棱线。

贯线的性质：

穿过底面三角重心，并且穿过所有平行于底面的平面 $\alpha$ 与三棱交点构成的三角形重心。穿点（贯线与 $\alpha$ 的交点）连向三点的向量和为 $\vec{0}$ 。
棱，贯线，其余两棱角分线，三线共面。
如上引入的物理性质

4-特殊汆体

棱 $OA$ 的对面角（定义17） $\angle BOC$ 记为 $\alpha$ 棱 $OB$ 的对面角 $\angle AOC$ 记为 $\beta$ 棱 $OC$ 的对面角 $\angle AOB$ 记为 $\gamma$

$\alpha, \beta, \gamma$ 称为此汆的角（定义3）。

等汆和半等汆有两个角相等叫做半等汆 在半等汆的基础上，另一角与两角也相等叫做等汆
直汆和半直汆在半等汆的基础上，两个角为直角，叫为半直汆 如果三个角均为直角叫做直汆
无欺同时，有且仅有两个角相等，且不是直角，叫无欺半等汆 三个角均相等且不是直角，叫无欺等汆 两个角为直角，且一个角非直角，叫做无欺半直汆
直面汆当有两个面垂直时，此汆叫做直面汆

嘿嘿无欺灵感来自：子集/真子集

5-四面体及平行六面体，单位棱高、棱面角

汆的单位四面体（定义14）指单位长度下四面体，即锥 O-ABC，平面六面体同理

\begin{align} &V_{单位四面体} = \frac{1}{6} \left|\vec{A} \cdot \left(\vec{B} \times \vec{C} \right) \right|\\ &V_{单位平行六面体} = \left|\vec{A} \cdot \left(\vec{B} \times \vec{C} \right) \right|\\ &S_{单位平行六面体} = 2\left( \left| \vec{B} \times \vec{C} \right|+ \left| \vec{A} \times \vec{C} \right|+ \left| \vec{A} \times \vec{B} \right| \right)\\ \end{align}

单位棱高、棱面角公式

\begin{align} H_{A}^2 &= \sin^2 α_{\perp}\\ &= \frac{\sin^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cdot \cos\beta \cdot \cos\gamma} {\sin^2\alpha}\\ &= \frac{S^2_{\alpha}-C^2_{\beta}-C^2_{\gamma}+2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {S^2_{\alpha}} \end{align}

推导证明：建系如图

建系图描述顶点位于原点，射线OC与x轴重合，面COB与xy平面贴合，A点位于xy平面上方空间

我们知道 $|\vec{A}| = |\vec{B}| = |\vec{C}| = 1$

\begin{cases} \vec{A} \cdot \vec{C} = \cos\beta \\ \vec{A} \cdot \vec{B} = \cos\gamma \\ \end{cases} \implies \begin{cases} X = \cos\beta\\ Y = \frac{\cos\gamma-\cos\alpha \cdot \cos\beta} {\sin\alpha} \end{cases}

进而

\begin{align} Z^2 &= 1 - X^2 - Y^2\\ &= \frac{\sin^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cdot \cos\beta \cdot \cos\gamma} {\sin^2\alpha}\\ &= \frac{S^2_{\alpha}-C^2_{\beta}-C^2_{\gamma}+2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {S^2_{\alpha}}\\ &= [单位棱高平方]H_{A}^2\\ &= [棱面角正弦平方] S_{\alpha_{\perp}}^2 \end{align}

对于汆的底面三角它的外接圆圆心落在汆的衡棱线上

提醒

对于一般的汆的底面三角，衡面线不会穿过内切圆圆心，而是指向球面三角形的内心

而对于非单位点构成的四面体，若 OA’、 OB’、 OC’ 相等，则上述结论仍然成立。而若三个长度不全相等，则外接圆圆心不落在衡棱线上

6-直面汆定理

当有两个面垂直时，此汆叫做直面汆。

如图

图描述 OB延长至B’，OA延长至A’，我们使用'把单位点区分面B’OC垂直于面A’OC，且B’C垂直于A’C（C-OA’B’为直汆）

有

\begin{align*} |OC| &= 1 & |CA'| &= \tan\beta \\ |OA'| &= \frac{1}{\cos\beta} & |CB'| &= \tan\alpha \\ |OB'| &= \frac{1}{\cos\alpha} \end{align*}

$面 OBC \perp 面 OAC$ ， $A、 B、 C$ 均为单位点， $A'、 B'$ 为非单位点， $B'C \perp A'C$ ，可以说： $汆 -C O B' A$ 为直汆

\begin{align} &|A'B'|^2 = |B'C|^2+|A'C|^2 = T_{\alpha}^2 + T_{\beta}^2\\ &|A'B'|^2 = |OB'|^2+|OA'|^2 - 2 |OB'| |OA'| \cos\gamma \end{align}

即

T_{\alpha}^2+T_{\beta}^2 = \frac{1}{C_{\alpha}^2} + \frac{1}{C_{\beta}^2} - 2 \frac{C_{\gamma}}{C_{\alpha} C_{\beta}}

同乘 $C_{\alpha}^2 C_{\beta}^2$ ，变为

S_{\alpha}^2 C_{\beta}^2 + S_{\beta}^2 C_{\alpha}^2 = C_{\beta}^2 + C_{\alpha}^2 - 2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}

移项并应用 $S^2+C^2=1$ ，整理得

C_{\alpha}C_{\beta} = C_{\gamma}

称之为直面汆定理。注意使用条件是汆中有直二面角，即直面汆。

事实上这正是球面几何中的勾股定理

这其实是高中常见扩展结论，据我观察，身边老师和同学大部分到了解它，却止步于这个在汆论中的特例公式。

我的研究就是为了让我们认清一般化的汆的计算。

7-面面角

建系方案同-7直面汆定理

另外，我们设： $A \xrightarrow{向xy平面投影} A_{0}$

让我们来计算： $二面角 A-OC-B$ ，

法向量求法或许更复杂，故采用找二面角的平面角 $\angle AC'A_{0}$ 解决

\begin{align} &|AC'| = S_{\beta}\\ &|AA_{0}| = H_{A}\\ &|A_{0}C'| = Y\\ \end{align}

此二面角记作： $\land C$ ，有

\begin{align} &tan^2(\land C) = \frac{H_{A}^2}{Y^2} = \frac{1-( C_{\alpha}^2 + C_{\beta}^2 + C_{\gamma}^2 )+2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {(C_{\gamma}-C_{\alpha}C_{\beta})^2}\\ &\sin^2(\land C) = \frac{H_{A}^2}{S_{\beta}^2} = \frac{1-( C_{\alpha}^2 + C_{\beta}^2 + C_{\gamma}^2 )+2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {S_{\alpha}^2 S_{\beta}^2}\\ &\cos(\land C) = \frac{Y}{S_{\beta}} = \frac{C_{\gamma}-C_{\alpha} C_{\beta}} {S_{\alpha} S_{\beta}} \end{align}

8-底面三角

约定：

$C_{\theta} = \cos \theta$
$BC^{2}$ 记作 $a^{2}$ ，边 $a,b,c$ 对应角 $\alpha,\beta,\gamma$

边长： $BC^{2}=2 - 2\cos\alpha$ 角： $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ 面积：

S = \frac{1}{2}\sqrt{ 3 -2(C_{\alpha}+C_{\beta}+C_{\gamma}) +2(C_{\alpha}C_{\beta} +C_{\alpha}C_{\gamma} +C_{\beta}C_{\gamma}) -(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2) }

面积推导过程：利用面积公式 $S=\frac{1}{4}\sqrt{(a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)}$ 根号下部分： $(a + b + c)(b + c - a)=(-a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc)$ $(a + c - b)(a + b - c)=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc)$

则

\begin{align} &(a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)\\ &=(2bc + a^{2}-b^{2}-c^{2})(2bc-(a^{2}-b^{2}-c^{2}))\\ &=(2bc)^{2}-(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}\\ &=2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\ &=2T_{1}-T_{2} \end{align}

其中：（用 $\alpha$ 代替 $\cos\alpha$ 书写）

\begin{align} T_{1} &= a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\\ &=4(1 - \alpha-\beta+\alpha\beta + 1-\alpha-\gamma+\alpha\gamma+1 - \beta-\gamma+\beta\gamma) \end{align}

即

2T_{1}=24-16(\alpha+\beta+\gamma)+8(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)

以及

\begin{align} T_{2} &= a^{4}+b^{4}+c^{4}\\ &=12 +4(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}) -8(\alpha+\beta+\gamma) \end{align}

所以

\begin{align} S&=\frac{1}{4}\sqrt{2T_{1}-T_{2}}\\ &=\frac{1}{4}\sqrt{4( 3 -2(\alpha+\beta+\gamma) +2(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma) -(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}) )}\\ &= 上式 \end{align}

经GeoGebra验证

9-对应锥、锥角和锥高

我们刚刚讨论衡棱线时，使用了单位圆锥（指顶点与底面圆构成的圆锥）。汆的衡棱线与对应锥的高线重合

而当我没有计算这个高是多少，锥顶角是多少，而有了底面三角公式，便可以计算了

设汆的四面体体积为 $V$ ，则

V = \frac{1}{3} H_{A} \cdot S_{\Delta OBC}

设对应锥的高为 $h$ ，那

V = \frac{1}{3} h \cdot S_{\Delta OBC}

由于之前得到的 $H_{A}$ 是带平方的，同时 $S_{\Delta OBC}$ 是带根号的, 为了成全它们都带平方，得到:

H_{A}^2 S_{\Delta OBC}^2 = h^2 S_{\Delta ABC}^2 \quad \quad S_{OBC}{}^2 = \frac{1}{4}S_{\alpha}^2

刚好与 $H_{A}^2$ 分母约去 $S_{\alpha}^2$ ，得

\begin{align} &\frac{1}{4} \left(1-\left(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2\right) +2 C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}\right) \\ &=\frac{1}{4} h^2 \left( 3 -2\left(C_{\alpha} + C_{\beta} + C_{\gamma}\right) +2\left( C_{\alpha}C_{\beta} +C_{\alpha}C_{\gamma} +C_{\beta}C_{\gamma} \right) -\left(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2\right) \right) \end{align}

所以

{1 -\left(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2\right) +2 C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {3 -2\left(C_{\alpha} + C_{\beta} + C_{\gamma}\right) +2\left( C_{\alpha}C_{\beta} +C_{\alpha}C_{\gamma} +C_{\beta}C_{\gamma} \right) -\left(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2\right) }

[经 GeoGebra 验证]

记圆锥的顶角为 $\dot{\Delta}$ , 则 $\cos^2 \frac{\dot{\Delta}}{2} = h^2$

为了方便书写与记忆, 引入关于基本量 $C_{\alpha}, C_{\beta}, C_{\gamma}$ 计算的记号:

\begin{align*} p &= C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2 & m &= C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma} \\ s &= C_{\alpha} + C_{\beta} + C_{\gamma} & x_{s} &= C_{\alpha}C_{\beta} +C_{\alpha}C_{\gamma} +C_{\beta}C_{\gamma} \\ \end{align*}

$h^2$ 可以简写为

h^2 = \frac{1-p+2m} {3-2s+2x_{s}-p}

设底面圆半径为 $r$ , 我们知道: $h^2+r^2=1$ ，所以

r^2=1-h^2 = \frac{(2-2s+2x_{s}-2m)} {(3-2s+2x_{s}-p)}

接下来我们研究底面圆上角 $\angle AO'B$ (例) 如何计算

建系，设

\begin{align} &O=(0,0,h), \\ &O'=(0,0,0), \\ &A = (r C_{A}, r S_{A}, 0) \\ &B = (r C_{B}, r S_{B}, 0) \\ &C = (r C_{C}, r S_{C}, 0) \end{align}

注意这里C_{A}指代A在底面圆的坐标系偏角我们的坐标系正式建立在底面圆上的，这是易见的

则

\begin{align} \overrightarrow{OA} &= (r C_{A}, r S_{A}, -h)\\ \overrightarrow{OB} &= (r C_{B}, r S_{B}, -h)\\ \end{align}

而

\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \cos \gamma \quad (bc:|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = 1)

即

r^2 (C_{A}C_{B} + S_{A}S_{B}) + h^2 = \cos \gamma

其中的 $(C_{A}C_{B} + S_{A}S_{B})$ 正是 $\cos\angle AO'B$ ，得到

\cos \gamma - 1 = r^2 (\cos\angle AO'B - 1)

另附： $H_{A}, \land A$ 等计算的简写形式

\begin{align} &H_{A}^2 = \sin^2 α_{\perp} = \frac{1-p+2m}{S_{\alpha}^2} \\ &\cos(\land C) = \frac{C_{\gamma}-C_{\alpha}C_{\beta}}{S_{\alpha}S_{\beta}} \\ &\sin^2(\land C) = \frac{1-p+2m}{S_{\alpha}^2 S_{\beta}^2} \\ &tan^2(\land C) = \frac{1-p+2m}{(C_{\gamma}-C_{\alpha}C_{\beta})^2}\\ &S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{3 - 2s + 2x_{s} - p} \end{align}

10-子汆及衡面线

终于想出了衡面线的求法，可以借助“子汆”求解一个汆的衡面线。

定义

首先我来介绍一下子汆的定义：

已知一个汆 O-ABC，令

\vec{A_1} = \frac{\vec{C} \times \vec{B}}{|\vec{C} \times \vec{B}|} \quad \vec{B_1} = \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{|\vec{A} \times \vec{C}|} \quad \vec{C_1} = \frac{\vec{B} \times \vec{A}}{|\vec{B} \times \vec{A}|}

则 O-A₁B₁C₁ 叫原汆的子汆。

注意这里的叉积顺序是重要的，不可搞反。

生成子汆的过程称为汆的分娩，记子汆为 $汆O-A_{1}B_{1}C_{1}$ ，原汆叫子汆的母汆，子汆的子汆为原汆的孙汆，记为： $汆O-A_{2}B_{2}C_{2}$ 。

推导

想象一下，左图虚线为余 O−ABC的衡面线

图描述

我们作出汆的衡面线，使用虚线表示

取点P位于虚线之上，P向{过O垂直面BOC的直线 $OA_{1}$ }的投影为 $P_{A1}'$ ，向面BOC的投影为 $P_{A}'$

根据定义，衡面线上的点 $P$ 到三个面的距离相等。

做 $PP_{A}'$ 是 $面OBC$ 的垂线， $P_{A}'$ 在面上。同时，计算 $\vec{C} \times \vec{B}$ 并转单位向量 $\overrightarrow{OA_{1}}$ ，将 $\overrightarrow{P_{A}'P}$ 平移到 $\overrightarrow{OA_{1}}$ 上得到 $\overrightarrow{OP_{A1}'}$ ，易得

OP_{A1}' \xlongequal{||} P_{A}'P

因此可得矩形 $OPA'PA''$ 。

由 $PP_{A}' = PP_{B}' = PP_{C}'$ ，在 $\triangle OPP_{A}'$ 、 $\triangle OPP_{B}'$ 、 $\triangle OPP_{C}'$ 中得 $OP_{A}' = OP_{B}' = OP_{C}'$ ，于是 $PP_{A1}' = PP_{B1}' = PP_{C1}'$

而 $PA_{1}'$ 、 $PB_{1}'$ 、 $PC_{1}'$ 均为垂足，这便符合衡棱线的定义，虚线是汆 $O-A_1B_1C_1$ 的衡棱线。

对此，我们有衡面线定理：一个汆的衡面线，与其子汆的衡棱线重合 [经GeoGebra验证]

基本量关系命名

注意下标代表汆的“辈分”是约定的，下文的计算中会直接使用

命名	记法	角	面面角
原汆	$汆O-ABC$	$\alpha, \beta, \gamma$	$\land A, \land B, \land C$
子汆	$汆O-A_{1}B_{1}C_{1}$	$\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$	$\land A_{1}, \land B_{1}, \land C_{1}$
孙汆	$汆O-A_{2}B_{2}C_{2}$	$\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$	$\land A_{2}, \land B_{2}, \land C_{2}$

下面来证明衡面线定理：

原汆： $O-ABC$

计算子汆三个方向：

\vec{A_1} = \frac{\vec{C} \times \vec{B}}{|\vec{C} \times \vec{B}|} \quad \vec{B_1} = \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{|\vec{A} \times \vec{C}|} \quad \vec{C_1} = \frac{\vec{B} \times \vec{A}}{|\vec{B} \times \vec{A}|}

由衡棱线公式，计算子汆的衡棱线：

\begin{align} \vec{P} &= \lambda (\vec{A_1} - \vec{C_1}) \times (\vec{A_1} - \vec{B_1})\\ &= \lambda \left( \frac{\vec{C} \times \vec{B}} {|\vec{C} \times \vec{B}|} - \frac{\vec{B} \times \vec{A}} {|\vec{B} \times \vec{A}|} \right) \times \left ( \frac{\vec{C} \times \vec{B}} {|\vec{C} \times \vec{B}|} - \frac{\vec{A} \times \vec{C}} {|\vec{A} \times \vec{C}|} \right) \\ \end{align}

为了方便，我们记

\vec{a} = \vec{C} \times \vec{B} \quad \quad \vec{b} = \vec{A} \times \vec{C} \quad \quad \vec{c} = \vec{B} \times \vec{A}

并记（为了方便书写而暂时规定）

\underline{\vec{v}} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

则

\vec{P} = \lambda ( \underline{\vec{c}} \times \underline{\vec{b}} -\underline{\vec{a}} \times \underline{\vec{b}} -\underline{\vec{c}} \times \underline{\vec{a}} )

我们来验证 $\vec{P}$ 是否在原汆- $汆 O-ABC$ 的衡棱线上。根据定义，若 $\vec{P}$ 满足

\frac{\vec{P}\cdot\vec{a}}{|\vec{a}|}= \frac{\vec{P}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}= \frac{\vec{P}\cdot\vec{c}}{|\vec{c}|}

则 $\vec{P}$ 在衡面线上。在此，我们验证 $\frac{\vec{P}\cdot\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{P}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}$ ，另外的同理

我们来验证 $\vec{p}$ 是否在原余 $O-ABC$ 的衡面线上。根据定义，若 $\vec{p}$ 满足：

\frac{\vec{p} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}

（这里的 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是上述法向量）则证明 $\vec{p}$ 在衡面线上。在此仅验证 $\frac{\vec{p} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}$ ，剩余同理可证。

计算 $\vec{p} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ ：

\begin{align} \vec{p} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} &= \lambda \, \left[ (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} - (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{a} \right]\\ &= \lambda \, (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} \end{align}

计算 $\vec{p} \cdot \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}$ ：

\begin{align} \vec{p} \cdot \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} &= \lambda \, \left[ (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} - (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} \right]\\ &= -\lambda \, (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \\ &= \lambda \, (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} \end{align}

证明完毕！

下面介绍原余，子余，孙余间一些量的关系：

由子汆的定义，我们不难联想到子汆与原汆在角上具有的关系

具体是，由于子汆的棱垂直于原汆的面，故棱的夹角与原汆的面面角一致。

而向量这里我们不得不考虑方向，故实际上子汆单位向量的夹角与原汆面面角互补。

即

\begin{align} \gamma_{1} + \land C &= \pi &\alpha_{1} + \land A &= \pi &\beta_{1} + \land B &= \pi \\ \gamma_{2} + \land C_{1} &= \pi &\alpha_{2} + \land A_{1} &= \pi &\beta_{2} + \land B_{1} &= \pi \\ \end{align}

根据面面角公式

\begin{align} \cos \land C_{1} &= \frac{ \cos \gamma_{1} - \cos \alpha_{1} \cos \beta_{1} }{ \sin \alpha_{1} \sin \beta_{1} }\\ &=\frac{ \cos (\pi-\land C) - \cos (\pi-\land A) \cos (\pi-\land B) }{ \sin (\pi-\land A) \sin (\pi-\land B) }\\ &=\frac{ -\cos (\land C) - \cos (\land A) \cos (\land B) }{ \sin (\land A) \sin (\land B) }\\ \end{align}

又因为 $\gamma_{2}=\pi-\land C_{1}$ ，所以

\begin{align} \cos \gamma_{2}&=-\cos \land C_{1}\\ &=\frac{ -\cos (\land C) - \cos (\land A) \cos (\land B) }{ \sin (\land A) \sin (\land B) }\\ \end{align}

所以，我们便可以在原，子，孙汆的基本量之间畅行无阻

\	原	子	孙
棱	$\alpha$	$\alpha_{1}$	$\alpha_{2}$
面	$\land A$	$\land A_{1}$	$\land A_{2}$

衡面线有什么作用呢

横面线上的点到三个面的距离相等
横面线与三个面的夹角相等
横面线是此汆的切球系球心所在直线
在计算四面体内切球球心时，可以计算其中两汆的衡面线，其交点便为所求

11-汆的度量初步讨论

像度量平面中的角一样，汆也拥有一套法则来度量不同汆的大小、尖锐程度。

平面中的角采用弧度制，在单位圆上的弧量取与半径相同的一段，对应角定义为 1 弧度。

相对于用弦作图衡量，弧度制对于角的划分更均匀，并且得到广泛使用和代数自然性。

这种选择问题到了空间中，同样是令人思考的。

以下是可行的度量方案

方案	均匀（?直观）	计算成本	类比平面角
底面三角面积	n	s	n
底面圆面积	n	s	n
锥角	y	s	?
球面三角面积	y	m	y
球冠面积	y	s	y

这里列举了我目前想到的度量方式，当然也许有其他度量方式更适合，但我主观倾向于用球面三角来度量。

因为在学校条件不允许我利用计算机来验证它们各自的优劣势，我希望一种度量方案可以具备仿照平面角的几何与代数性质。

比如四汆体内汆和外汆、中汆为一半的球心汆、四汆体中的正弦定理等

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