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![[2026.2^18-23] 大佬云集](/_astro/130979566_p0.D_GlzVIZ_Z2vBbwC.webp)
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这是我们**Nature**的其中一个文明
用于记录我的梦境，即视感，或者离谱的事 --- ## 1. 即视与交织 用于记录大脑的神秘时刻，相信大家都有这种体验，不只是即视感，有时是还一种突然的兴奋和感伤 我想知道如果我全部记录下来会是怎样的体验，他们会不会再次突然出现 1. 一个音乐有不同的版本，它们之间就像齿轮一样牵绊，在温柔梦境中。 2. 白色的塑料螺丝钉拧进木质桌子里，发生在沙漠之中的白色洋伞下 3. 滚动的字符穿过墙壁，直到让全世界都知晓。 4. 巨型计算机网络大厅，失真和模糊 5. 冬日暖阳 6. 十字路口出现和向后瞬移的人，在一低头的功夫。 7. 失落的矿洞，启辉器以及电流表 --- ## 2. 梦境 > 这是真的梦见什么写什么，另外由于都是早上半睡半醒的记录，请忽略用词和错字 ## 8.30 - 2025 ```angular2html 做了一个非常离谱的梦，现在刚醒，赶紧把它记下来 看过一个生化危机类型的电影 大概分为五部 第一部，非常经典的镜头，就是在一个医院里，那些病人非常疯狂已经有一段时间了， 但是在一定条件下集体失控，医生给他注射药物，但没有用，猛地起来推翻了旁边儿的药架， 然后直接袭击医生，这些病人表情非常痛苦，尸体几近腐烂，但是仍然非常活跃，能够行动，说白了就是僵尸 这个时候，场景就在一个主色调偏暗的医院的一个手术部后边，然后袭击了在场的所有医生，病毒开始蔓延。 然后中间有一些情节，主角出现在郊外的一个就是西部，美国西部战中一个卡车上， 然后正要前往什么地点，听着非常悠闲的音乐 第二部 忘了，直接讲第三部 第三部电影开头跟之前也没有什么关系 其实也有关系，先是从一个裸体的人的肚子上缓慢运镜，完了以后他醒来在沙滩上，就是主角 附近的草丛里踏出了一条路，沿着路前面有一个小山坡， 这里是一片海岸山脉，他爬上小山坡之后，沿着稀松的树林往前走到一个地方，有一个落差，它往下走 在走了一段之后，就看见一个小村落。不村落还是太原始了，属于城镇，就在这个山谷里边儿的幸存者的营地吧。 他走啊走，感觉这也很奇怪，像是有人，但又像是没人，似乎已经荒废，但他总感觉刚刚有人来过，却看不见一个人， 他走到最前面，有一个地下室的入口，但最下面被封住了，就像地铁站那种，在棚里有些杂物包括一些扔掉的生活用品， 他翻动着里边儿的一个白袋子，什么都没有，惊走一堆乌鸦。他出来之后，看见了一只黑猫，这更坚定了他的一个想法。 这里绝对有人，因为黑猫这种品种，他只能吃人类剩下的一些食物才能生存。他必须靠着人类才能生存。 那么肯定有人在这里，他仍然觉得这里烟火气尚存，不过，人们都去哪儿了？ 往回走了一点儿，发现有一个商店进去了。里边儿是一片黑的，货架在里边一排又一排。 只有外边儿的光透过玻璃照进来。他往后一扭头，发现一个人骑着摩托飞驰路过， 接下来，越来越多的人们也从摩托车驶来的方向说说笑笑走过来，电影出现了比较放松和惊喜的音乐， 小镇回复热闹，他融入了这其中。接下来比较离谱了，就我作为主角，遇到了自己的高中地理老师，我跟牛老师就去吃饭， 饭馆在地下一楼。她就跟我说，具体不清楚是一个什么梗，就说为什么没有感觉到什么什么，你不记得是什么什么。 然后我就问她，我说，野外看见黑猫就代表有人在。他说，这个没有这个说法， 黑猫的食物没有什么明显特征，什么都吃。我就去见了他们的首领，告诉我这是他们一个什么的活动， 大概巡查周边情况之类的，需要好多人出动。所以城镇里边儿之前没人儿，他们正准备进行一个什么样的计划， 这时候我正好来了，打量了一下我，我觉得我可以，我加入他们，他们的先遣队 然后，第四部也不知道了。 第五部就比较奇怪，只记得一点儿，就是我在一个特别荒凉，像是戈壁的一个地方， 被一个类似于农场主的人困在一个露天的一个圈里，这一大片地方只有我们两个人。 后来有一天，来了一个客人，去跟农场主在他们的房间里边儿谈话。我的就悄悄靠近他们的房子， 因为券和房子是连着的。然后他看了这个就好像很生气，最后那个客人都是对我很感兴趣， 于是就打算把我买走，然后又记不清了 第六部记得片段，不知道是第几部的，就是我们在一个类似于外太空或者某个星球上， 然后我应该是那个男主，一个女孩儿，女主和我一起执行某个任务， 应该是出来修什么零件儿。然后我们的太空车坏了，就在外边儿困着，我就安慰她。 那个场景大概轮廓在一个什么建筑门洞下面。然后决定，最后决定怎么着，好像是有冒险试一下什么东西 最后还有一个场景碎片，就是我走在一篇废弃的城市建筑群里边儿，再往前走， 有一些不那么高的建筑，在一个比较低矮的房子的二楼，其实那个墙已经被炸了一半儿， 我找到了一个营地，因此我不再孤身一人，加入了幸存者生存团队。 离谱，好像里边儿还有生化危机里边儿的爱丽丝他们，然后我就跟这些哥哥姐姐们一块儿去，在末日生存 但是我敢肯定的是，最后一个场景碎片确实是之前做的梦。但是前几个片段我不能这么肯定， 但是他确确实实让我感觉之前似曾相识的做过。但是我知道这种情况可能比较正常， 就是一种即视感，总觉得之前做过类似的东西，看过类似的东西，但其实可能大脑在欺骗自己， 其实是刚刚生成的，我就觉得这个电影看看过，尤其是刚醒来的时候，特别笃定这个电影一定看过。 但是现在渐渐清醒过来，可能觉得这些东西真的是自己想象的，我的想象力真厉害哈哈， 比如，第一部的所有的场景和画面，在梦里边儿是我和我妈一块儿看电视。 电视里边儿的画面连续不掉帧，非常4K超清包括人物们纯正的英语台词，运镜什么的一个不少 ``` ### 2.11 - 2026 ```angular2html 一个伟人，他的成果先失去，再得到。 一位科学家，就像艾萨克牛顿一样，本身就存在。 他非常豁达，根本不关心成果是否属于他。 事实是，成果往往被偷窃，他丝毫不保护，而投入到下一个研究中。 这个人仿佛与上界通灵一样，头脑里有想不完的想法，于是不停的创造。 直到世界上最新的技术基本全部属于他。他的能力不证自明。 在作文课上，老师正讲着关于他的事情，已经成为广泛的作文素材。 一个根本不存在的山，反复爬了好几遍。 上一次爬，还是在之前的梦里。这一次，我们选择夜爬。 这个山很奇怪，山脚下是一个酒庄，酒庄停留在千禧年的风格，歌舞升平。 山上却比较荒凉，十分诡异，但大家都不觉得什么。 走到半山腰的地方，一面峭壁挡住去路，左右均可通行。我们从来没有走过左边，这次也一样。 再向上会遇到苔藓覆丛路_人会隐匿其中，石寺_昔日的神圣和今日的荒凉，静水池塘_需要从中间伫立的石柱上一个一个跨过去。 一个可爱的前桌 恋 我好坏啊，天天捉弄她。嘻嘻 ```
~~其实写自我介绍我并不擅长~~ 07 年，双子星 - 阳光开朗大男孩 小时候爱机械与电路，初三染上编程，高一染上数学物理） 喜欢数学，爱好研究圆锥曲线，数学可视化科普视频计划中 ## 业余爱好 听[音乐](https://music.163.com/#/user/home?id=1719190026)乐乐乐乐乐（纯音+英文） 喜欢摄像，[东拍西拍](https://www.mduo.cloud/gallery/1) 打羽毛球，看心情遛弯~或跑步，篮球菜菜 去爬山，草原，海洋，山河旅行 养小动物，小猫-蓝莓，鸡小强 ## 编程历史 2022-2025 在 Lua 里兜兜转转，在 [my github](https://github.com/Duo-Star) 目前有 83% 的语言占比 2022-5 第一个Android app 2022-8 为初恋❤️制作看小说，聊天，看番聚合定制软件 2022-11 高一疫情在家，编码技能飞速增长，制作 3体、星系模拟，碰撞 2022-12 制作 Lua脚本驱动的数学可视化 Duo Nature, Duo Star(浏览器), Duo Music 2023-1 与[苦小怕](https://doc.kulipai.top/)合作制作Forest Store 应用商店，体验服务器、前后端、数据库 2023-5 Lua-Duo Nature 物理引擎，CAS 初步 2023-8 Nature 几何软件（GMK先驱） 2023-10 （2d-Duo Nature物理引擎）开发几个小游戏 2024-4 流体模拟，3d 初步 2024-8 GeoMKY 初代研发 2025-9开始学习 Dart，制作了 GeoMKY [在线运行](https://gmk.mduo.cloud/) | [Github](https://github.com/Duo-Star/geomky) 2025-12 开始学习 Rust，制作[Lambda_solver](https://github.com/Duo-Star/Lambda_solver) 2026-2 制作网站与博客 ## 关于朋友 我很高兴能遇见你，独一无二的你！ 我很乐意互加[友链](https://www.mduo.cloud/friends/) 欢迎加入[QQ群组](https://qm.qq.com/cgi-bin/qm/qr?k=slbSy6uyOjAlJONDk4ceS4whwL1ofvkf&jump_from=webapi&authKey=fEPSH178gupDXyNdbyf2lyURGXINIAdFo4/kTHvDwY7TwufGZ9E5uGK1tuWAupsm)，以及我的个人QQ ```angular2html Duo - 113530014 MathForest - 663251235 ``` ## MathForest 群组 不只是数学， MF营造广泛的⛰️`自然科学` 交流环境！ #### ✨没错，如果你找到了这个群，正说明我们志趣相投! - 数学 - 数学可视化 - 无线电，电子电路，嵌入式 - 代码，个人开发者应用 - 玩机，系统 - 旅行，挑战 - 抽老婆（特色？） - 闲聊，分享你的日常 #### 📍需读 1. 严禁讨论敏感问题 2. 维护相互尊重的交流环境 #### 🚵♂️群相册 本群`群相册`是一大特色，主题丰富，欢迎友友们上传记录自己的瞬间。 上传需分门类，请注意。 #### 🌙群友项目 | 名称 | 简介 | 作者 | |-----------------------------------------------------------|--------------|----------------| | [SGC](https://sqy419.axolotlpower.com/sgc/) | Scratch图形计算器 | SQY | | [StuCanvas](https://github.com/Friendships6666/StuCanvas) | Cpp图形计算器 | Friendships666 | | [General-DSP](https://github.com/AstarLC4036/General-DSP) | 用于 APT 解调 | AstarLC | | [LuaHook](https://github.com/KuLiPai/LuaHook) | 用lua进行hook | 苦小怕 | | 简函云记 | 云笔记 | 高小离 | ## 关于名字 1. Duo 我最常用的名字 2. Duo-Star 我的Github用户名，可以翻译成双星罢 3. Huluhuhululuhu 我的[推特](https://x.com/Huluhuhululuhu)用户名 ~~说梦话时录的（？~~ ## 开源程序 ### Lua [归档合集](https://github.com/Duo-Star/fa2-memory) [GMK-lua](https://github.com/Duo-Star/GMK-lua) [MiYu-lua](https://github.com/Duo-Star/MiYu-lua) [MatCal2](https://github.com/Duo-Star/MatCal2) [River-lua](https://github.com/Duo-Star/River-lua) [Pakoo-lua](https://github.com/Duo-Star/Pakoo-lua) [PixelPath-lua](https://github.com/Duo-Star/PixelPath-lua) [MC-highway-lua](https://github.com/Duo-Star/MC-highway-lua) [NatureMath-lua](https://github.com/Duo-Star/NatureMath-lua) [Crystal-lua](https://github.com/Duo-Star/Crystal-lua) [Bad-Apple-lua](https://github.com/Duo-Star/Bad-Apple-lua) [AtomDay-lua](https://github.com/Duo-Star/AtomDay-lua)
# 自用分享 - 为 Flutter 配置 GitHub - Vercel 自动化 我喜欢使用 Flutter 制作小玩具，也有部署到网页的需求，同时我不想占用自己服务器，同时希望自动化，如果你和我一样，那你需要这个。 这会把下载 SDK 和编译等体力活交给 GitHub，Vercel 只负责最后的静态托管，每次 `git push` 后，GitHub 和 Vercel 会自动协作 进行以下操作前，我们默认你已经将项目推送至 GitHub 仓库，如果没有，请先创建仓库 --- ## 第一步：在项目中创建配置文件和编写自动化脚本 创建githu工作流：`根目录/.github/workflows/deploy.yml` 使用以下代码： ```yaml name: Deploy to Vercel on: push: branches: - master # 触发的分支名，也许你是main jobs: build-and-deploy: runs-on: ubuntu-latest steps: # 拉取代码 - uses: actions/checkout@v4 # 安装 Flutter - uses: subosito/flutter-action@v2 with: channel: 'stable' # 获取依赖 并 构建 Flutter Web - run: flutter pub get - run: flutter build web --release # 将构建产物部署到 Vercel - name: Deploy to Vercel uses: amondnet/vercel-action@v20 with: # 我们稍后在GitHub设置 vercel-token: ${{ secrets.VERCEL_TOKEN }} vercel-org-id: ${{ secrets.ORG_ID }} vercel-project-id: ${{ secrets.PROJECT_ID }} # 只部署构建后的 web 文件夹 working-directory: ./build/web # 部署到生产环境 vercel-args: '--prod' ``` --- ## 第二步：连接和创建 Vercel 项目 使用 npm 安装 vercel： ```sh npm install -g vercel ``` 连接你的账户： ```sh vercel login ``` 创建 Vercel 项目，在 Flutter 项目根目录下运行： ``` vercel link ``` 以我的一次运行为例： ```sh [duo@duoarch YunShu]$ vercel link ? Set up “~/Project/Dart/你的项目文件夹名”? yes ? Which scope should contain your project? 小可爱's projects ? Link to existing project? no ? What’s your project’s name? 你的项目名 ? In which directory is your code located? ./ > No framework detected. Default Project Settings: - Build Command: `npm run vercel-build` or `npm run build` - Development Command: None - Install Command: `yarn install`, `pnpm install`, `npm install`, or `bun install` - Output Directory: `public` if it exists, or `.` ? Want to modify these settings? no ? Do you want to change additional project settings? no ✅ Linked to 你的项目组名/你的项目名 (created .vercel) ``` 运行成功后，你的 Vercel 面板上会出现你的这个项目 --- ## 第三步：获取 Vercel 的密钥 (Secrets) 我们刚刚已经运行 `vercel link`，连接成功后，项目根目录会生成一个 `.vercel/project.json` 文件 你会看到类似这样的内容： ```json { "projectId": "prj_xxxxxxxxxxxx", "orgId": "team_xxxxxxxxxxxx", "projectName":"xxxxx" } ``` 为了让 GitHub 有权限把文件传给 Vercel，我们需要去 GitHub 项目的： ```sh Settings > Secrets and variables > Actions > Repository secrets ``` 添加： | ID | V | | ------------ | ----------------------------------------------------------------- | | VERCEL_TOKEN | 使用你的VERCEL_TOKEN<br>或在 [这里](https://vercel.com/account/tokens) 创建 | | ORG_ID | 来自：`.vercel/project.json` | | PROJECT_ID | 来自：`.vercel/project.json` | --- ## 第四步：Vercel 连接 GitHub 这一步是很简单的，只需要在 Vercel 上连接 GitHub 并同意默认的基本权限 --- ## 第五步：推送，触发工作流 如题，推送一次，我们的GitHub Action就开始工作了 在推送之前，请检查`.vercel` 文件夹被排除，里面包含你的项目私有标识。理论上讲，一旦你拿到了这两个 ID 并填到了 GitHub，你就可以把本地的 `.vercel` 文件夹删掉了。 可以到项目仓库的 Action 页面查看，Flutter 项目从第一次下载到构建大约需要2-3分钟 --- ## 后续工作 在 Vercel 面板的域名项里连接你自己的域名 首先，向 Vercel 致敬，他不仅提供构建服务（其实我们刚刚也不是用它构建的），还提供二级域名，对小白非常友好 填入例如 `miyu.mduo.cloud` ，然后在你的域名提供商（我是阿里云）里记录规则，指向Vercel提供的 `ns2.vercel-dns.com`， `ns1.vercel-dns.com`， `xxxxxxxx.vercel-dns-017.com` 等即可
很高兴介绍我的新项目 好像没什么好说的
> 写于我的高二 # 0-预 我们知道，三角形是平面上的基本图形，角和边作为构成三角形基本原素。在空间中，四面体是基本图形，而我创造的正是四面体的“角”——汆角。 **汆角**：空间中共起点而不共面的三个射线。 接下来我会围绕汆角给出相关定义，属性，计算。 # 1-基本概念 1. 汆：空间中共起点而不共面的三个射线（一般，我们称**汆**即可） > 注意 > 1. 三条射线的公共起点记为点`O` > 2. 三条射线记为`la, lb , lc` 2. 棱：三条射线中任意一个 3. 角：任意两棱之间形成的角 4. 面：三条射线两两组成的三个平面：`αβγ`（`α`与`la`相对，即`α`由`lb, lc`组成） 5. 单位棱：棱长归一化的线段（线段端点为`O-A, B, C`） 6. 顶点：三条棱的交点，即点`O` 7. 单位点：点`A, B, C` 8. 汆的表示：汆O-ABC > 注意 > 使用大写字母`ABC`即意味着他们是单位点，`O-A, B, C`长均为`1` 9. 单位向量：$\overrightarrow{OA} , \overrightarrow{OB} , \overrightarrow{OC}$简写为$\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ 10. 底面：`面ABC` 11. 底面三角：`三角形ABC` 12. 单位球：球心位于`O`的单位球 13. 底面圆：`底面`和`单位球`的交面，即`底面三角`的外接圆 14. 单位四面体：`四面体O-ABC` 15. 单位平行六面体：三个单位向量确定的平行六面体 16. （棱的）对应面：对于棱`O-A`的对应面是面`α` 17. （棱的）对面角：对于棱 $OA$ 的对面角 $\angle BOC$ 记为$\alpha$ 18. 单位棱高：`单位棱`顶点`A, B, C`到对应面的距离，记为$H_a$或$H_{A}$ 19. 棱-面角：`棱`与`对应面`的夹角，记为$α_{\perp}$ 20. 面-面角：两`面`的夹角，记作$\land A$ 21. 衡棱线：是一条经顶点出发的`射线`（方向取向：与底面有交点），此线上任何点到三条`棱`的距离相等 22. 衡面线：是一条经顶点出发的`射线`（方向取向：与底面有交点），此线上任何点到三个`面`的距离相等 23. 贯线：`顶点`到`底面三角`的重心的射线 24. 单位球三角：在`单位球`上的`球面三角形ABC` 25. 特殊汆：半等汆，等汆，正汆，半正汆，小正汆，直面汆，直面汆 26. 对应锥：圆锥（`顶点` - `底面圆`） 27. 锥角：对应锥的顶角$\dot{\Delta}$ 28. 锥高：锥高，即`顶点`到`底面`的距离 29. 底面半径：`底面圆`的半径 # 2-关于引言及衡棱线 三角形（二维单纯形）作为平面上的基本图形 1. 三角形是平面几何中的基本元素 2. 三个点是确定一个平面的最少信息，同时两邻边对应的向量又可以看作此面的基底 3. 任意多边形都可以拆成三角形 4. 三角形中蕴含着大量的定理和性质 到了空间中，我们的四面体（三维单纯形）（三棱锥）则是最基本元素。 可是从命名上看，它并没有沿用角（比如四角体），而是用了面或棱。难道就不配在空间中拥有角吗？于是我创造了`汆`的概念，故四面体等于四汆体。 起名为汆的原因（我瞎起的）：`入`的结构正好像`空间中共起点而不共面的三个射线`的结构，十分形象！ 我首先研究的是它的`角分线` 我们知道，在平面几何中，角分线上的点到角两边的距离相等。所以汆的角分线也到三个棱的距离相等，我称为衡棱线。接着我开始想衡棱线在哪以及怎么计算 设 $\vec{O}$ 为原点，$\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$是汆的单位向量。若$\vec{P}$在衡棱线上，则: $$|\vec{P} \cdot \vec{A}| = |\vec{P} \cdot \vec{B}| = |\vec{P} \cdot \vec{C}|$$ 我首先尝试了$\vec{P} = \lambda (\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})$，因为平面上角分线可以这样算，但我发现它并不满足上式。它其实是这个它对应平行六面体的对角线。 接着我想，既然$|OA| = |OB| = |OC|$，我让它们成为以顶点 $O$ 为顶点的一个圆锥的三个母线，而 $A$、 $B$、 $C$ 必然确定一个面，三点圆作为圆锥的底，那么圆锥高线与任何母线夹角恒定，其中包括 $OA$、 $OB$、 $OC$。 如此一来，便找到了衡棱线 $OH$。如何用向量表示呢？一开始我还苦于找到 $\Delta ABC$ 外心 $H$， $OH$即衡棱线。 但是转念一想，我只找方向即可，不及大小。于是我可以写出与 $OH$ 同方向的向量： $$\vec{P} = \lambda ((\vec{C}-\vec{A}) \times (\vec{B}-\vec{A}))$$ 注：用到的叉积运算性质 1. $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{O}$ 2. $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{d} = (\vec{a} - \vec{c}) \times (\vec{b} - \vec{d}) + \vec{a} \times \vec{d} + \vec{c} \times \vec{b}$ 3. $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ 验证： $$ \begin{align} \vec{P} &= \lambda \left( \left(\vec{C}-\vec{A}) \times (\vec{B}-\vec{A} \right) \right) \\ &= \lambda \left(\vec{C} \times \vec{B} - \vec{C} \times \vec{A} - \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{A} \right) \\ &= \lambda \left( \vec{C} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} + \vec{B} \times \vec{A} \right) \\ \end{align} $$ 计算$\left| \vec{P} \cdot \vec{A} \right|$： $$ \begin{aligned} \left| \vec{P} \cdot \vec{A} \right| &= \left| \lambda \left( \vec{C} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} + \vec{B} \times \vec{A} \right) \cdot \vec{A} \right| \\ &= \left| \lambda \left( \left(\vec{C} \times \vec{B} \right) \cdot \vec{A} + \underbrace{ \left(\vec{A} \times \vec{C}\right) \cdot \vec{A}}_{0} + \underbrace{\left(\vec{B} \times \vec{A} \right) \cdot \vec{A}}_{0} \right) \right| \\ &= \left| \lambda \left(\left(\vec{C} \times \vec{B} \right) \cdot \vec{A} \right) \right| \end{aligned} $$ 同理： $$ \begin{align} &\left| \vec{P} \cdot \vec{B} \right| = \left| \lambda \left( - \left(\vec{C} \times \vec{A} \right) \cdot \vec{B} \right) \right|\\ &\left| \vec{P} \cdot \vec{C} \right| = \left| \lambda \left( - \left(\vec{A} \times \vec{B} \right) \cdot \vec{C} \right) \right|\\ \end{align} $$ 可以看出： $$ \left| \vec{P} \cdot \vec{A} \right| = \left| \vec{P} \cdot \vec{B} \right| = \left| \vec{P} \cdot \vec{C} \right| $$ 衡棱线的性质： 1. 线上的点到三个棱距离相等 2. 线上与三棱夹角相等 3. 线穿过底面三角的外心，穿过底面圆的圆心，与底面法向量共线 4. 线上的点到单位点 A、 B、 C 的距离相等 # 3-贯线 想象一下，你有三根等长的木棍（不妨设为$2$单位长），粘住他们的一个顶点不动，在空间中形成汆，接着用绳子吊起顶点，绳子所在直线是什么？没错——贯线 使用每一根木棍重心$A, B, C$（木棍均匀，中点为重心）代替木棍。然后用$\Delta ABC$的重心 $G$ 代替三个质点$A, B, C$。如此一来，就相当于绳直接吊着一个球$G$。 那`顶点`与`底面三角`重心$G$连线的直线，就是绳所在的直线，我称之为`贯线`，有贯穿之意。 贯线如何计算？首先表示出底面三角的重心 $$ \vec{G} = \frac{1}{3} \left(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C} \right) $$ 那么贯线的方程就是 $$\vec{P} = \lambda (\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})$$ 这正是左边我刚开始尝试的衡棱线。 贯线的性质： 1. 穿过`底面三角`重心，并且穿过所有`平行于底面的平面`$\alpha$与三棱交点构成的三角形重心。穿点（贯线与$\alpha$的交点）连向三点的向量和为 $\vec{0}$。 2. 棱，贯线，其余两棱角分线，三线共面。 3. 如上引入的物理性质 # 4-特殊汆体 棱 $OA$ 的`对面角`（定义17） $\angle BOC$ 记为$\alpha$ 棱 $OB$ 的`对面角` $\angle AOC$ 记为$\beta$ 棱 $OC$ 的`对面角` $\angle AOB$ 记为$\gamma$ $\alpha, \beta, \gamma$称为此汆的`角`（定义3）。 - 等汆和半等汆 有两个`角`相等叫做`半等汆` 在`半等汆`的基础上，另一`角`与`两角`也相等叫做`等汆` - 直汆和半直汆 在`半等汆`的基础上，两个`角`为直角，叫为`半直汆` 如果三个`角`均为直角叫做`直汆` - 无欺 同时，有且仅有两个`角`相等，且不是直角，叫`无欺半等汆` 三个`角`均相等且不是直角，叫`无欺等汆` 两个`角`为直角，且一个`角`非直角，叫做`无欺半直汆` - 直面汆 当有两个面垂直时，此汆叫做直面汆 > 嘿嘿 > 无欺灵感来自：子集/真子集 # 5-四面体及平行六面体，单位棱高、棱面角 汆的`单位四面体`（定义14）指单位长度下四面体，即锥 O-ABC，平面六面体同理 $$ \begin{align} &V_{单位四面体} = \frac{1}{6} \left|\vec{A} \cdot \left(\vec{B} \times \vec{C} \right) \right|\\ &V_{单位平行六面体} = \left|\vec{A} \cdot \left(\vec{B} \times \vec{C} \right) \right|\\ &S_{单位平行六面体} = 2\left( \left| \vec{B} \times \vec{C} \right|+ \left| \vec{A} \times \vec{C} \right|+ \left| \vec{A} \times \vec{B} \right| \right)\\ \end{align} $$ 单位棱高、棱面角公式 $$ \begin{align} H_{A}^2 &= \sin^2 α_{\perp}\\ &= \frac{\sin^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cdot \cos\beta \cdot \cos\gamma} {\sin^2\alpha}\\ &= \frac{S^2_{\alpha}-C^2_{\beta}-C^2_{\gamma}+2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {S^2_{\alpha}} \end{align} $$ 推导证明： 建系如图 > 建系图描述 > 顶点位于原点，射线OC与x轴重合，面COB与xy平面贴合，A点位于xy平面上方空间 我们知道$|\vec{A}| = |\vec{B}| = |\vec{C}| = 1$ $$ \begin{cases} \vec{A} \cdot \vec{C} = \cos\beta \\ \vec{A} \cdot \vec{B} = \cos\gamma \\ \end{cases} \implies \begin{cases} X = \cos\beta\\ Y = \frac{\cos\gamma-\cos\alpha \cdot \cos\beta} {\sin\alpha} \end{cases} $$ 进而 $$ \begin{align} Z^2 &= 1 - X^2 - Y^2\\ &= \frac{\sin^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cdot \cos\beta \cdot \cos\gamma} {\sin^2\alpha}\\ &= \frac{S^2_{\alpha}-C^2_{\beta}-C^2_{\gamma}+2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {S^2_{\alpha}}\\ &= [单位棱高平方]H_{A}^2\\ &= [棱面角正弦平方] S_{\alpha_{\perp}}^2 \end{align} $$ 对于汆的`底面三角`它的外接圆圆心落在汆的`衡棱线`上 > 提醒 > 1. 对于一般的汆的`底面三角`，`衡面线`**不会穿过**内切圆圆心，而是指向`球面三角形的内心` > 2. 而对于非单位点构成的四面体，若 OA'、 OB'、 OC' 相等，则上述结论仍然成立。而若三个长度不全相等，则外接圆圆心`不`落在`衡棱线`上 # 6-直面汆定理 当有两个面垂直时，此汆叫做`直面汆`。 如图 > 图描述 > OB延长至B'，OA延长至A'，我们使用`'`把单位点区分 > 面B'OC垂直于面A'OC，且B'C垂直于A'C（C-OA'B'为`直汆`） 有 $$ \begin{align*} |OC| &= 1 & |CA'| &= \tan\beta \\ |OA'| &= \frac{1}{\cos\beta} & |CB'| &= \tan\alpha \\ |OB'| &= \frac{1}{\cos\alpha} \end{align*} $$ $面 OBC \perp 面 OAC$， $A、 B、 C$ 均为`单位点`， $A'、 B'$为`非`单位点， $B'C \perp A'C$， 可以说：$汆 -C O B' A$ 为`直汆` $$ \begin{align} &|A'B'|^2 = |B'C|^2+|A'C|^2 = T_{\alpha}^2 + T_{\beta}^2\\ &|A'B'|^2 = |OB'|^2+|OA'|^2 - 2 |OB'| |OA'| \cos\gamma \end{align} $$ 即 $$ T_{\alpha}^2+T_{\beta}^2 = \frac{1}{C_{\alpha}^2} + \frac{1}{C_{\beta}^2} - 2 \frac{C_{\gamma}}{C_{\alpha} C_{\beta}} $$ 同乘$C_{\alpha}^2 C_{\beta}^2$ ，变为 $$ S_{\alpha}^2 C_{\beta}^2 + S_{\beta}^2 C_{\alpha}^2 = C_{\beta}^2 + C_{\alpha}^2 - 2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma} $$ 移项并应用 $S^2+C^2=1$，整理得 $$ C_{\alpha}C_{\beta} = C_{\gamma} $$ 称之为直面汆定理。注意使用条件是汆中有直二面角，即直面汆。 > 事实上 > 这正是**球面几何中的勾股定理** 这其实是高中常见扩展结论，据我观察，身边老师和同学大部分到了解它，却止步于这个在汆论中的特例公式。 我的研究就是为了让我们认清一般化的汆的计算。 # 7-面面角 建系方案同-7直面汆定理 另外，我们设：$A \xrightarrow{向xy平面投影} A_{0}$ 让我们来计算：$二面角 A-OC-B$， 法向量求法或许更复杂，故采用找二面角的平面角$\angle AC'A_{0}$解决 $$ \begin{align} &|AC'| = S_{\beta}\\ &|AA_{0}| = H_{A}\\ &|A_{0}C'| = Y\\ \end{align} $$ 此二面角记作：$\land C$，有 $$ \begin{align} &tan^2(\land C) = \frac{H_{A}^2}{Y^2} = \frac{1-( C_{\alpha}^2 + C_{\beta}^2 + C_{\gamma}^2 )+2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {(C_{\gamma}-C_{\alpha}C_{\beta})^2}\\ &\sin^2(\land C) = \frac{H_{A}^2}{S_{\beta}^2} = \frac{1-( C_{\alpha}^2 + C_{\beta}^2 + C_{\gamma}^2 )+2C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {S_{\alpha}^2 S_{\beta}^2}\\ &\cos(\land C) = \frac{Y}{S_{\beta}} = \frac{C_{\gamma}-C_{\alpha} C_{\beta}} {S_{\alpha} S_{\beta}} \end{align} $$ # 8-底面三角 约定： 1. $C_{\theta} = \cos \theta$ 2. $BC^{2}$ 记作 $a^{2}$ ， 边$a,b,c$ 对应角 $\alpha,\beta,\gamma$ 边长：$BC^{2}=2 - 2\cos\alpha$ 角： $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ 面积： $$ S = \frac{1}{2}\sqrt{ 3 -2(C_{\alpha}+C_{\beta}+C_{\gamma}) +2(C_{\alpha}C_{\beta} +C_{\alpha}C_{\gamma} +C_{\beta}C_{\gamma}) -(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2) } $$ 面积推导过程： 利用面积公式 $S=\frac{1}{4}\sqrt{(a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)}$ 根号下部分： $(a + b + c)(b + c - a)=(-a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc)$ $(a + c - b)(a + b - c)=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc)$ 则 $$ \begin{align} &(a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)\\ &=(2bc + a^{2}-b^{2}-c^{2})(2bc-(a^{2}-b^{2}-c^{2}))\\ &=(2bc)^{2}-(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}\\ &=2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\ &=2T_{1}-T_{2} \end{align} $$ 其中：（用 $\alpha$ 代替 $\cos\alpha$ 书写） $$ \begin{align} T_{1} &= a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\\ &=4(1 - \alpha-\beta+\alpha\beta + 1-\alpha-\gamma+\alpha\gamma+1 - \beta-\gamma+\beta\gamma) \end{align} $$ 即 $$ 2T_{1}=24-16(\alpha+\beta+\gamma)+8(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma) $$ 以及 $$ \begin{align} T_{2} &= a^{4}+b^{4}+c^{4}\\ &=12 +4(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}) -8(\alpha+\beta+\gamma) \end{align} $$ 所以 $$ \begin{align} S&=\frac{1}{4}\sqrt{2T_{1}-T_{2}}\\ &=\frac{1}{4}\sqrt{4( 3 -2(\alpha+\beta+\gamma) +2(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma) -(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}) )}\\ &= 上式 \end{align} $$ 经GeoGebra验证 # 9-对应锥、锥角和锥高 我们刚刚讨论衡棱线时，使用了单位圆锥（指顶点与底面圆构成的圆锥）。汆的衡棱线与对应锥的高线重合 而当我没有计算这个高是多少，锥顶角是多少，而有了底面三角公式，便可以计算了 设汆的四面体体积为 $V$， 则 $$ V = \frac{1}{3} H_{A} \cdot S_{\Delta OBC} $$ 设对应锥的高为 $h$，那 $$ V = \frac{1}{3} h \cdot S_{\Delta OBC} $$ 由于之前得到的$H_{A}$是带平方的，同时$S_{\Delta OBC}$是带根号的, 为了成全它们都带平方，得到: $$ H_{A}^2 S_{\Delta OBC}^2 = h^2 S_{\Delta ABC}^2 \quad \quad S_{OBC}{}^2 = \frac{1}{4}S_{\alpha}^2 $$ 刚好与 $H_{A}^2$ 分母约去 $S_{\alpha}^2$ ，得 $$ \begin{align} &\frac{1}{4} \left(1-\left(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2\right) +2 C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}\right) \\ &=\frac{1}{4} h^2 \left( 3 -2\left(C_{\alpha} + C_{\beta} + C_{\gamma}\right) +2\left( C_{\alpha}C_{\beta} +C_{\alpha}C_{\gamma} +C_{\beta}C_{\gamma} \right) -\left(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2\right) \right) \end{align} $$ 所以 $$ h^2 = \frac {1 -\left(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2\right) +2 C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma}} {3 -2\left(C_{\alpha} + C_{\beta} + C_{\gamma}\right) +2\left( C_{\alpha}C_{\beta} +C_{\alpha}C_{\gamma} +C_{\beta}C_{\gamma} \right) -\left(C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2\right) } $$ [经 GeoGebra 验证] 记圆锥的顶角为 $\dot{\Delta}$, 则$\cos^2 \frac{\dot{\Delta}}{2} = h^2$ 为了方便书写与记忆, 引入关于基本量 $C_{\alpha}, C_{\beta}, C_{\gamma}$ 计算的记号: $$ \begin{align*} p &= C_{\alpha}^2+C_{\beta}^2+C_{\gamma}^2 & m &= C_{\alpha}C_{\beta}C_{\gamma} \\ s &= C_{\alpha} + C_{\beta} + C_{\gamma} & x_{s} &= C_{\alpha}C_{\beta} +C_{\alpha}C_{\gamma} +C_{\beta}C_{\gamma} \\ \end{align*} $$ $h^2$ 可以简写为 $$ h^2 = \frac{1-p+2m} {3-2s+2x_{s}-p} $$ 设底面圆半径为 $r$, 我们知道: $h^2+r^2=1$，所以 $$ r^2=1-h^2 = \frac{(2-2s+2x_{s}-2m)} {(3-2s+2x_{s}-p)} $$ 接下来我们研究底面圆上角 $\angle AO'B$ (例) 如何计算 建系，设 $$ \begin{align} &O=(0,0,h), \\ &O'=(0,0,0), \\ &A = (r C_{A}, r S_{A}, 0) \\ &B = (r C_{B}, r S_{B}, 0) \\ &C = (r C_{C}, r S_{C}, 0) \end{align} $$ > 注意 > 这里C_{A}指代A在底面圆的坐标系偏角 > 我们的坐标系正式建立在底面圆上的，这是易见的 则 $$ \begin{align} \overrightarrow{OA} &= (r C_{A}, r S_{A}, -h)\\ \overrightarrow{OB} &= (r C_{B}, r S_{B}, -h)\\ \end{align} $$ 而 $$ \vec{OA} \cdot \vec{OB} = \cos \gamma \quad (bc:|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = 1) $$ 即 $$ r^2 (C_{A}C_{B} + S_{A}S_{B}) + h^2 = \cos \gamma $$ 其中的$(C_{A}C_{B} + S_{A}S_{B})$正是 $\cos\angle AO'B$，得到 $$ \cos \gamma - 1 = r^2 (\cos\angle AO'B - 1) $$ 另附： $H_{A}, \land A$等计算的简写形式 $$ \begin{align} &H_{A}^2 = \sin^2 α_{\perp} = \frac{1-p+2m}{S_{\alpha}^2} \\ &\cos(\land C) = \frac{C_{\gamma}-C_{\alpha}C_{\beta}}{S_{\alpha}S_{\beta}} \\ &\sin^2(\land C) = \frac{1-p+2m}{S_{\alpha}^2 S_{\beta}^2} \\ &tan^2(\land C) = \frac{1-p+2m}{(C_{\gamma}-C_{\alpha}C_{\beta})^2}\\ &S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{3 - 2s + 2x_{s} - p} \end{align} $$ # 10-子汆及衡面线 终于想出了`衡面线`的求法，可以借助“子汆”求解一个汆的衡面线。 ## 定义 首先我来介绍一下子汆的定义： 已知一个汆 O-ABC，令 $$ \vec{A_1} = \frac{\vec{C} \times \vec{B}}{|\vec{C} \times \vec{B}|} \quad \vec{B_1} = \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{|\vec{A} \times \vec{C}|} \quad \vec{C_1} = \frac{\vec{B} \times \vec{A}}{|\vec{B} \times \vec{A}|} $$ 则 O-A₁B₁C₁ 叫原汆的`子汆`。 > 注意 > 这里的叉积顺序是重要的，不可搞反。 生成子汆的过程称为`汆的分娩`，记子汆为$汆O-A_{1}B_{1}C_{1}$，原汆叫子汆的母汆，子汆的子汆为原汆的孙汆，记为：$汆O-A_{2}B_{2}C_{2}$。 ## 推导 想象一下，左图虚线为余 O−ABC的衡面线 > 图描述 > 1. 我们作出汆的衡面线，使用虚线表示 > 2. 取点P位于虚线之上，P向{过O垂直面BOC的直线$OA_{1}$}的投影为$P_{A1}'$，向面BOC的投影为$P_{A}'$ 根据定义，衡面线上的点 $P$ 到三个`面`的距离相等。 做 $PP_{A}'$ 是 $面OBC$的垂线，$P_{A}'$ 在面上。同时，计算 $\vec{C} \times \vec{B}$ 并转单位向量 $\overrightarrow{OA_{1}}$，将$\overrightarrow{P_{A}'P}$平移到$\overrightarrow{OA_{1}}$上得到$\overrightarrow{OP_{A1}'}$，易得 $$ OP_{A1}' \xlongequal{||} P_{A}'P $$ 因此可得矩形 $OPA'PA''$。 由 $PP_{A}' = PP_{B}' = PP_{C}'$ ，在 $\triangle OPP_{A}'$、$\triangle OPP_{B}'$、$\triangle OPP_{C}'$ 中得 $OP_{A}' = OP_{B}' = OP_{C}'$，于是 $PP_{A1}' = PP_{B1}' = PP_{C1}'$ 而 $PA_{1}'$、$PB_{1}'$、$PC_{1}'$ 均为垂足，这便符合衡棱线的定义，虚线是汆 $O-A_1B_1C_1$ 的衡棱线。 对此，我们有**衡面线定理**：一个汆的衡面线，与其子汆的衡棱线重合 [经GeoGebra验证] --- 基本量关系命名 > 注意 > 下标代表汆的“辈分”是约定的，下文的计算中会直接使用 | 命名 | 记法 | 角 | 面面角 | | --- | -------------------- | ----------------------------------- | --------------------------------------- | | 原汆 | $汆O-ABC$ | $\alpha, \beta, \gamma$ | $\land A, \land B, \land C$ | | 子汆 | $汆O-A_{1}B_{1}C_{1}$ | $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$ | $\land A_{1}, \land B_{1}, \land C_{1}$ | | 孙汆 | $汆O-A_{2}B_{2}C_{2}$ | $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$ | $\land A_{2}, \land B_{2}, \land C_{2}$ | ## 下面来证明衡面线定理： 原汆：$O-ABC$ 计算子汆三个方向： $$ \vec{A_1} = \frac{\vec{C} \times \vec{B}}{|\vec{C} \times \vec{B}|} \quad \vec{B_1} = \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{|\vec{A} \times \vec{C}|} \quad \vec{C_1} = \frac{\vec{B} \times \vec{A}}{|\vec{B} \times \vec{A}|} $$ 由衡棱线公式，计算子汆的衡棱线： $$ \begin{align} \vec{P} &= \lambda (\vec{A_1} - \vec{C_1}) \times (\vec{A_1} - \vec{B_1})\\ &= \lambda \left( \frac{\vec{C} \times \vec{B}} {|\vec{C} \times \vec{B}|} - \frac{\vec{B} \times \vec{A}} {|\vec{B} \times \vec{A}|} \right) \times \left ( \frac{\vec{C} \times \vec{B}} {|\vec{C} \times \vec{B}|} - \frac{\vec{A} \times \vec{C}} {|\vec{A} \times \vec{C}|} \right) \\ \end{align} $$ 为了方便，我们记 $$ \vec{a} = \vec{C} \times \vec{B} \quad \quad \vec{b} = \vec{A} \times \vec{C} \quad \quad \vec{c} = \vec{B} \times \vec{A} $$ 并记（为了方便书写而暂时规定） $$ \underline{\vec{v}} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $$ 则 $$ \vec{P} = \lambda ( \underline{\vec{c}} \times \underline{\vec{b}} -\underline{\vec{a}} \times \underline{\vec{b}} -\underline{\vec{c}} \times \underline{\vec{a}} ) $$ 我们来验证$\vec{P}$是否在原汆-$汆 O-ABC$的衡棱线上。 根据定义，若$\vec{P}$满足 $$ \frac{\vec{P}\cdot\vec{a}}{|\vec{a}|}= \frac{\vec{P}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}= \frac{\vec{P}\cdot\vec{c}}{|\vec{c}|} $$ 则$\vec{P}$在衡面线上。 在此，我们验证$\frac{\vec{P}\cdot\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{P}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}$ ，另外的同理 我们来验证 $\vec{p}$ 是否在原余 $O-ABC$ 的衡面线上。根据定义，若 $\vec{p}$ 满足： $$ \frac{\vec{p} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} $$ （这里的 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是上述法向量）则证明 $\vec{p}$ 在衡面线上。在此仅验证 $\frac{\vec{p} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{p} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}$，剩余同理可证。 计算 $\vec{p} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$： $$ \begin{align} \vec{p} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} &= \lambda \, \left[ (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} - (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{a} \right]\\ &= \lambda \, (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} \end{align} $$ 计算 $\vec{p} \cdot \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}$： $$ \begin{align} \vec{p} \cdot \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} &= \lambda \, \left[ (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} - (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} \right]\\ &= -\lambda \, (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \\ &= \lambda \, (\vec{c} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} \end{align} $$ 证明完毕！ --- ## 下面介绍原余，子余，孙余间一些量的关系： 由子汆的定义，我们不难联想到子汆与原汆在角上具有的关系 具体是，由于子汆的棱垂直于原汆的面，故棱的夹角与原汆的面面角一致。 而向量这里我们不得不考虑方向，故实际上子汆单位向量的夹角与原汆面面角互补。 即 $$ \begin{align} \gamma_{1} + \land C &= \pi &\alpha_{1} + \land A &= \pi &\beta_{1} + \land B &= \pi \\ \gamma_{2} + \land C_{1} &= \pi &\alpha_{2} + \land A_{1} &= \pi &\beta_{2} + \land B_{1} &= \pi \\ \end{align} $$ 根据面面角公式 $$ \begin{align} \cos \land C_{1} &= \frac{ \cos \gamma_{1} - \cos \alpha_{1} \cos \beta_{1} }{ \sin \alpha_{1} \sin \beta_{1} }\\ &=\frac{ \cos (\pi-\land C) - \cos (\pi-\land A) \cos (\pi-\land B) }{ \sin (\pi-\land A) \sin (\pi-\land B) }\\ &=\frac{ -\cos (\land C) - \cos (\land A) \cos (\land B) }{ \sin (\land A) \sin (\land B) }\\ \end{align} $$ 又因为$\gamma_{2}=\pi-\land C_{1}$，所以 $$ \begin{align} \cos \gamma_{2}&=-\cos \land C_{1}\\ &=\frac{ -\cos (\land C) - \cos (\land A) \cos (\land B) }{ \sin (\land A) \sin (\land B) }\\ \end{align} $$ 所以，我们便可以在原，子，孙汆的基本量之间畅行无阻 | \ | 原 | 子 | 孙 | | ----- | --------- | ------------- | ------------- | | **棱** | $\alpha$ | $\alpha_{1}$ | $\alpha_{2}$ | | **面** | $\land A$ | $\land A_{1}$ | $\land A_{2}$ | ## 衡面线有什么作用呢 1. 横面线上的点到三个面的距离相等 2. 横面线与三个面的夹角相等 3. 横面线是此汆的切球系球心所在直线 4. 在计算四面体内切球球心时，可以计算其中两汆的衡面线，其交点便为所求 # 11-汆的度量初步讨论 像度量平面中的角一样，汆也拥有一套法则来度量不同汆的大小、尖锐程度。 平面中的角采用弧度制，在单位圆上的弧量取与半径相同的一段，对应角定义为 1 弧度。 相对于用`弦`作图衡量，弧度制对于角的划分更`均匀`，并且得到广泛使用和代数自然性。 这种选择问题到了空间中，同样是令人思考的。 以下是可行的度量方案 | 方案 | 均匀（?直观） | 计算成本 | 类比平面角 | | ------ | ------- | ---- | ----- | | 底面三角面积 | n | s | n | | 底面圆面积 | n | s | n | | 锥角 | y | s | ? | | 球面三角面积 | y | m | y | | 球冠面积 | y | s | y | 这里列举了我目前想到的度量方式，当然也许有其他度量方式更适合，但我主观倾向于用球面三角来度量。 因为在学校条件不允许我利用计算机来验证它们各自的优劣势，我希望一种度量方案可以具备仿照平面角的几何与代数性质。 比如四汆体内汆和外汆、中汆为一半的球心汆、四汆体中的正弦定理等
pixiv-白-短篇—当白蝴蝶萝莉降临到我身边 来自 [Pixiv](https://www.pixiv.net/novel/show.php?id=20743379#1) 仅此，挚曾经挚爱的时光 2023年9月27日晚上9点26分 清晨，我踩上拖鞋晃晃悠悠地走出房间，迎面而来的徐徐凉风硬生生将我重重的哈欠给按了回去，迫使我张开惺忪的睡眼。慵懒的阳光没有一如既往地光顾客厅的窗，只有几滴挂在玻璃上的水珠，夹杂着透过纱窗渗进的丝丝凉意正迫不及待地发出宣告，接下来是小雨的时间了。 我对雨天向来颇有好感，尤其是小雨，没有刺骨的寒冷、恼人的积水，微凉的风阵阵吹过，轻柔的雨点点飘落，鲜有人愿意在这种天气走出家门，倒是让我感到一种包含着宁静和自由的快乐。 现在我的眼前是一座花园——这样描述或许并不严谨，因为它终日被郁郁葱葱的草木包裹着，展现出一片盎然的绿意 。 这片绿意在雨水的滋润下开始变得清澈明亮，从四楼往下看，是一抹清爽的绿，渐渐在我的眼里溶化成一颗透明的水滴。 略微潮湿的地砖和微冷的空气劝退了清晨散步打拳的老头老太太们，上班上学的大人和娃娃此时都还没来得及出门呢——啊，说起来今天不用上学诶！突然闪过脑海的念头比扑面而来的冷风更让我清醒，我以最快的速度洗漱、换衣，抓起妈妈留给我的早餐钱就冲出了家门。 没有比雨中凉爽的空气搭配不用上学的消息更加让我感到自由的事情了，我一个箭步跳入濛濛烟雨之中，享受这个只属于自己的小世界。 果然，路上没有行人，就连卖早餐的也只稀稀拉拉支起几个还未准备好的摊位。既然没人注视，就可以毫无顾忌地在大街上蹦蹦跳跳！ 伴着凉风细雨，旋转着越过空旷的街道、老旧的房区，爬上熟悉的小坡后再右拐穿过车站，逆着微凉的风，任由头发被它吹往与行道树相同的方向，从一端行至另外一端的路似乎一瞬间便走完了。这另外一端是我最最喜欢的地方，它四通八达，带来了几个路口不同时节的色彩交相辉映的景象，譬如春天的桃花、夏天的白兰、秋天的枫叶和桂花，还有冬天盛开的梅花。拜这番色彩所赐，一年四季这里总会是蝴蝶最为集中的地方之一。 我们这里的蝴蝶大多呈雪白色，时常优雅地穿行于花间，在我长久以来的印象中好似身着白纱裙的少女，淡雅怡人，出尘脱俗。 也有一种又小又少的淡黄色蝴蝶，等太阳一出来，一片片耀眼的雪白之中几乎找不见它们的身影。 哦对了，在不远处，西边那条道路的尽头还坐落着一座花园——这可是货真价实的花园了，听说当年搞建设的时候这块地方曾被圈起来待定，可没曾想，不知哪儿来的野花在这儿发了芽。 来年，一团团小小的、荷叶形状的草丛争先恐后地冒了出来，跟着一起的，还有星星点点从中探出头来的天蓝色小花。 慢慢，这些指甲盖儿大小都不如的天蓝色小花就铺满了这一方土地，渐渐吸引了无数雪白的蝴蝶，倒是成了一处美丽的自然风光。 大家见状，便用新鲜的木头制成篱笆，精心雕刻后将这块地给围出了个圆圈，便有了这座静谧的花园。现在是夏天，是这里蝴蝶最多的季节，但雨天却恰恰是人最少的天气。 我静静站在花园的中央，雪白的精灵在我身边自由地飘荡，我闭上眼，仔细感受着雨天泥土独有的清香。许久，我睁开双眼，发出一声感叹： “虽然和朋友一起玩儿很快乐，不过自己一个人对着这些花儿说些悄悄话也很不错诶，哪怕不会有谁在听......” “相信万物有灵的孩子，为什么会这么想呢？” 一阵如凉雨般清脆的女声从我的耳畔传来，自然又动听的嗓音让我完全没有能力思考来自声音源头的违和感，只是呆呆地看着雪白的蝴蝶在我面前翩翩起舞，又如盛放的梨花一般漫天散开，露出一位少女的身影。 趁我发呆之际，眼前的少女轻移莲步向我而来，我看到水蓝色的秀发温顺地披在她的肩头，随微风轻轻摆动； 一袭雪白的纱裙裹在她的身上，露出珍珠一般白皙润滑的肩膀。行至身前，她精致的脸庞上生出一丝动人的微笑，泉水般湿润明亮的大眼睛微微眨着...... 这就是我幻想中的白蝴蝶少女啊！淡雅怡人、出尘脱俗，带着一种神圣不可侵犯的气质......当然，如果眼前的这位少女没有因为一米五几的身高而不得不仰头看着我的话，也许看上去会更加神圣些。 “那个......就是，就是......你穿成这样不冷吗？”话音刚落，我便在心里骂起自己的不争气，第一次见到自己的“梦中情人”，却因为紧张像个唯唯诺诺的小学生一般说出这样的话来。 刚想开口说几句来挽回一下自己挂不住的颜面，谁知眼前的少女竟然“噗嗤”一笑，顿时让我的心更乱了。 “第一次见到你这么有趣的人，一见面就从这么清奇的角度评价女孩子的衣服，咱是该说你憨态可掬呢，还是该怪你不讲礼貌呢？” 她笑着，像一朵挂着清晨露珠的野百合。 “呃啊？！这两个都不是什么正面评价吧！”我出于本能吐了个槽，紧张的气氛似乎因此得到了缓和。 “不过......对不起，我刚刚没反应过来，昨天没睡好，哈哈哈......”我仍然不愿承认自己刚刚的紧张。 “嘿嘿，咱接受你的道歉~ ”她气质中的冰雪终于随着这句话消融殆尽，只留下一位清纯可爱的少女，此时她正努力踮起脚尖，想给我一个安慰的抚摸。 几次尝试未果，少女泛着红晕的脸颊鼓成了一个小小的包子。“你你你，给咱蹲下！” 没有人能拒绝这样可爱的女孩子，我微笑着蹲下身子，任由她柔软的小手轻轻摩挲着我的头发。 “那么，这位美丽的小姐，我可以有幸知道您的芳名吗？” “啊......嘿嘿，梦玲，是咱的名字~ ”梦玲害羞地微微将头侧向一旁，不过从反应上来看，这套带着敬语的说辞似乎让她蛮受用的。 “其实，咱是这片花园的守护者，用你们人类的话理解应该是......自然界的精灵......吧？咱象征着这片天蓝色的花海，和在花海中自由展翅的蝴蝶哦~ ” 几只雪白的蝴蝶缓缓停在她伸出的手指之间，我顺着望去，才发现她纱裙的胸口处绣着一只张开翅膀的蝴蝶，天蓝色的野花点缀在周围。 “梦玲，真是好听的名字啊，和自然精灵的身份非常搭配啊。”看着她得意的模样，我忍不住伸出手轻轻刮了一下她的小鼻子。 “我还以为精灵都会很难交流，没想到梦玲你这么平易近人，一点都不高冷呢。” “谁说的！谁说人家不高冷了！”梦玲的小脸又鼓了起来。 “唔......只有刚刚出现的那会儿还算高冷吧，后面一开口就不高冷了。”不知道是不是错觉，梦玲的大眼睛好像比刚才更加湿润了一些，吓得我立马转移话题。 “像......像你这么可爱的女孩子，经常露出那么灿烂笑容的女孩子，怎么会用高冷来形容嘛......” “哎呀，不听不听！”明明被夸很高兴，连嘴角都在控制不住的上扬，这个小可爱却还是不依不饶。“不笑了！绝对不笑了！无论你用什么样的方法我都不会再笑了，不信你试试看！” 倔强的小眼神挑衅似地紧紧盯着我的脸。我心里暗自好笑，抛开她孩子气的行为不说，这TK文一般的展开算是怎么回事啊？ --- 不让播了，请至 [Pixiv](https://www.pixiv.net/novel/show.php?id=20743379#1) 看原文
## Poetic Fragments 常常会这样 恍惚间好似突然回到了初中的某个自习课的下午 风扇嗡嗡地在头顶轰响 我无聊地伏在课桌赶作业 窗外蝉鸣裹挟着绿得滴油的盛夏树叶的气息一起吹进了教室 时光缓慢流淌 日子好像怎么也望不到头 而现在想到总是很怀念 怀念这首我们曾经一起唱着的却在最酣畅淋漓时戛然而止的歌 阳光 操场 迟到 白衬衫 睫毛 黄昏 侧脸 逃课 单车 短裙 打架 篮球 背影 斗嘴 对视 汗水 初恋 大扫除 图书馆 运动会 相遇的走廊 教室门口 音乐课的钢琴声 青涩的自我介绍 随便选两三个 就能组成一个学生时代~ 开头的旋律就像把人和事物带回了八九十年代的安宁、平静与踏实，让浮躁的心回归原本，又带着法国浪漫主义色彩，仿佛置身烂漫的法国街头，好像这一生过完以后再回顾留恋波澜不惊的样子，配上一棵开花的树，再没有比这更合适的了 时光总是这样短暂，悄无声息的，它带走我年轻的容颜，细纹悄悄爬上面庞，青丝渐生华发…我恳请时光慢些，它却笑而不语。我知道它已开始走远，越走越远。 妈妈和阿姨聊天，阿姨说:“你女儿这么乖，比我儿子好多了，要不你把女儿给我养吧。”小女孩愣了一会说：“好呀！”这次轮到妈妈愣了。回家的路上，妈妈一句话也没说。回到家后，小女孩说：“妈妈，你怎么了？”妈妈没回答小女孩的问题，反倒问了小女孩一句：“宝贝，你不喜欢妈妈吗？”小女孩眨了眨她卡姿兰大眼睛，说：“没有呀”妈妈说：“那你怎么想当阿姨的女儿呢？”小女孩低头想了想说：“妈妈，你不是不喜欢我吗？我总是让你不开心。我想，我要是当了阿姨的女儿就不会惹你生气了……”妈妈听完当场就哭了，紧紧的抱着小女孩 大多数人不敢表白，其实最怕的不是被拒绝，而是怕对方在某个茶余饭后，对方跟朋友们讲起这件事时，用的是这样的语气：“哎，你知道那个谁吗？竟然跟我表白，真是笑死我了。”其实对表白者来说，光是鼓起勇气就已经耗费了全部的力气，所以就再也没有力气去承受嘲讽了。 记得那是一个上午，我们在上课，窗户里透过来刺眼的阳光，我看着她极力躲避着阳光，我就站了起来，老师问我怎么了 我说困了站着听课。可是那是上午第二节课，怎么会困呢。只不过想用身体为她挡住阳光，让她在我的影子里舒服一点。我们再也回不去那个每次换桌位都会悄悄计算和你喜欢的人之间距离的年纪 医院里的墙比教堂听过更多的祈祷， 酒店里的床比监狱听过更多的谎话，学校比婚礼见证了更多真诚的表白，战士比牧师听过更多的山盟海誓，离开比遇见更能看清一个人的内心，分开比相处更能见证两个人的爱情，夏天的风比秋天的更加萧瑟，冬天的暖阳比春天更加温暖，死亡面前的爱情比婚礼面前的爱情更真诚 感觉像是一个穿着薄纱的美丽女子，扬着她秀美的长发，在仍旧辉宏的废弃城墙上翩翩起舞，随着镜头的拉远，一个遗世独立依稀可见当时繁盛的破落中世纪城邦渐渐展现。油然而生一种时光芿苒的凄美悲壮之感，而这个女孩子，就像是精灵，默默的讲述着时光的流逝。 那年，我喜欢上了同班的她，可一直不敢说， 有一次上体育课她把脚崴了，我也借故给老师说肚子疼便和她在操场上聊天。 我们聊各自喜欢什么，我说我喜欢绿色喜欢和绿茶，她说她也喜欢绿色喜欢喝绿茶， 我说我喜欢夏天，她说她也喜欢夏天，我说我喜欢你，她停顿了一下羞赧地说，我也喜欢我自己.. 学生党的夏天才叫夏天 漫长得让人失去耐性的暑假 蝉声里追偶像剧 空调房里吃西瓜 跟喜欢的男孩子约去图书馆里写作业 然后趴在桌子上睡着 一身汗水穿着白色连衣裙地回家去 猜今晚大概是吃盐水毛豆 傍晚在夕阳正好的时候穿着短裙出门 时光拖得跟树荫一样深远。而大人们的夏天 只能叫“天很热的那些日子” 那年盛夏，前面的男孩儿骑着自行车，后面的女孩儿追的大喘气，女孩儿抱怨着“哥，你倒是等等我啊”，男孩儿一边笑着减慢车速，摇着车铃避开路上农作而归的大伯，“阿辰又欺负小雅啊”，“没呢，大伯，我跟她闹着玩儿呢。”，男孩儿说着停了下来，女孩儿追上了猛拍男孩儿的后背，一边和大伯抱怨一边上车 喜欢盛夏，喜欢它让我不耐烦的燥热，喜欢它大大的阳光，喜欢窗外不绝的蝉鸣，喜欢那股热风…走到河边，用手挽起清凉些的水，好不自在——放上一杯冰镇的饮料，拿起笔，一点点写下未来的希望与征程…未来的路很长，现在只是一个开始，致青春，加油！ 炎炎夏日 带着耳机 喝着清凉的橘子味汽水 坐在你的身后 你骑着单车 微风吹过面庞 突然车铃声唤醒了有些出神的我 也传到了我的心里 一阵阵只为你产生涟漪的水面和下坡的路 让我楼主了你的腰 我感受着你不知是羞涩还是太阳所造成的温度 而你感受着我为你而非快的心跳 我们一同感受这盛夏与蝉鸣…… 想到了小时候，夏天的晚上在小区里疯跑，做游戏，荡秋千，暑假玩着洛克王国，在湖边的桥上热烈地聊着自己又集了多少宠物，一起丢沙包，壮着胆子在小区后方偏僻的小屋里找“鬼”，边玩陀螺边看着路过的车辆驶过，闻着夏夜独有的风儿草丛树叶的清香…… 我记忆里的夏天是他和我走过树荫浓密的小道，是那天晚风吹过，在飞扬的发丝间瞥见那群人嬉笑的背影，是期末考完后在车库前催她快点快点，那天我站在学校的梧桐树下，阳光斜照在我身上，回头的一瞬间，洒满阳光的校园，那些傻乎乎的少年的笑声一点一滴洒在了记忆里，后来，我对夏天的记忆就是真的，真好 盛夏的午后，烈日灼灼，蝉栖在榕树上不厌其烦地鸣叫着。少女手里紧紧拿着一个苹果，不停地在树底下踱来踱去。叮铃——少女循声望去，少年骑着自行车赶来，不一会儿就到达了树底。少年将自行车停放好，脸上满是笑意。“傻丫头，找我干嘛呀？”少女低着头，将手中的苹果递过去，脸慢慢地变红， 纯音乐就是这样给你震撼，每天在网易云上找感动，找知音，但事实证明每一个听众都是一个孤傲的岛屿，不到海枯永远不会发现自己和他人一直都是有关联的。每次向别人推荐自己很欣赏的音乐，换来的是敷衍的点头。但每次看到歌曲的评论，我就会欣喜自己并不孤独，只是缺少与你见面的机会。寻找必定徒劳。 大学军训时特别喜欢我们教官，长得帅身材好！后来向他表白被拒绝了，还罚我站了一个小时的军姿，我都中暑了。这件事成了我心里永远的痛，每每想到这里我就一巴掌给我老公扇过去，让他跪一个小时搓衣板“小子，当初不是挺流比的嘛，还敢让我站那么久的军姿！" 傻孩子，你还是太天真了，尧十三有一首歌叫《如果下雨的时候你拖着行李箱子站在屋檐下面那么其实我没有足够的时间找一个好一点的理由抛弃家里面的狗坐上K667次列车到你在的地方找个商店买一把伞然后给我妹妹弹吉他因为她要参加比赛所以我回不去了我也不会给你说我泡面的碗还没洗》 读小学时，我交了一个女朋友.一天我去她家玩，突然她妈回来了.她急忙把我藏在了她家厕所。她妈在沙发上坐了一会儿，然后说要上厕所，刚一打开门看见我在洗衣服，然后我说：“阿姨你好，我是你女儿的同学，今天我把墨水溅到你女儿身上。老师让我来洗干净！” 倘若时光飞逝 用尽力气也追赶不上；倘若蓦然回首 朝夕相处的你们已在记忆彼端.那些有你们相伴的乍暖的春；那些桌椅间交错恍惚的人影；那些眼角余光里少年带笑的侧脸；那些如诗的情怀——它们终究要埋葬在心底. 当不再年少的我们回顾这岁月 是否仍觉 暖风穿堂而过 恰似当年 胜似当年. 我眼中的夏天是趴在桌子上午睡垫的校服，打一整瓶又喝不完的水，亲手贴的中考必胜，黑板角上粉笔擦了又改的中考倒计时，藏在教室外没写完的暑假作业，三楼烫手的栏杆，40张写着志愿的便利贴，是硫在氧气中绽放的蓝紫色火焰，是好像上不完的晚自习，聊不完的天，是无尽夏。 很多年后的同学会上，酒过几巡。他对当年暗恋的同学说：“你知道为什么以前每个下课，我总是找你问问题吗？”大伙儿哄堂大笑，等着看她脸红。她平淡地看了他一眼，抿了抿嘴角道：“那你想过没有，为什么我总是会在座位上，而不出去玩呢？”……有些美好的东西，总于指尖悄悄流去…… 怎么能不怀念呢 一起吹过的晚风 看过的晚霞 一起在黑板上写下的分数 晚休时夕阳折射进教室的光 喧闹的小卖部 一起冒雨披着校服去球场只是为了看喜欢的少年 操场上的奔跑 走廊里的偶遇 背影 靠近 心动 和每一瓶冰镇可乐 倒计时 咖啡 课间的轻手轻脚怕打扰同学睡觉 奔跑 争抢时间 退校那天一起合唱的歌 结束时没有想象中的轰轰烈烈，却是在感慨我们一起奋斗的青春，我们一起从清晨学到深夜，一起经历每周的周考，承受成绩带给我们的压力，习惯一周上六天课，甚至一起在一间教室经历过高考，未来我想可能也不会有这样的一班人共同为了一个目标一起拼搏，一起熬过一个个深夜，一起在纸条上写下心愿...... 喜欢韩寒的一句话：中考束了。马上又将会有这么一群孩子，迫不及待的扔下书包，去聚餐，通宵上网，旅行，KTV，闲逛，狂欢……认为自己终于解放了……殊不知，你们离开的，就是天堂。 如果有一天你回到母校，不要声张，和学弟学妹们商量好，换上学弟学妹的校服，等上课时，爬在桌子上睡觉。等待着老师把你揪起时，和她说：“老师好久不见，我回来了”。 毕业的那天，别撕书，别撕卷子，别撕笔记，留好。若干年后，你会再次从箱子里无意中翻到这些东西，蒙尘已久。你一屁股坐在地板上，一边收拾一边翻看。笔迹略有褪色，曾经的厌恶褪得更干净，里面每一行字都能让你想起点什么。曾经的生活就这么被一点点拼回来，但你会很开心 你曾以为中考结束当天的夜晚你会彻夜狂欢，打一晚上游戏，吃一晚上零食，和喜欢的人聊一宿电话，但那天你发现零点刚过没多久你就已经困了，什么也提不起兴致，只想好好睡一觉，你也是从那天开始发现，原来人生相邻的每一天其实都一样，并没有什么一迈过去前途就豁然开朗的坎。 尊敬的高三乘客您好，您所乘坐的2019-2022永不返程号列车即将到达终点站，请您整理好您所携带的物品，以免遗漏，下车前请记得回头再看一眼，在心里刻下每一个人的脸庞，下车的时候记住不要掉眼泪，要微笑，记忆里都是互相最美好的模样，给列车上您所认识的每一个人一个拥抱，和他们说句谢谢, “校服扔吗？” “不扔。” “为什么？” “太贵。” “有多贵？” “三年青春” 校服是我和她唯一穿过的情侣装，毕业照是我和她唯一的合影 “我们， 以一二一开始， 以三二一结束” 上初中后跟小学朋友断了联系，上高中后跟初中朋友断了联系，上大学后，高中的朋友也不大联系了 ，估计大学毕业后就没朋友了， 从一个环境到另一个环境 ，过去的关系全都无力维系，是青春太过单薄，风轻轻一吹就散了，离开时请记得彼此的微笑，给彼此祝福。蓦然回首，生命是一场无法回放的绝版电影。